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《勾股定理的逆定理》
內(nèi)容：
命題2 如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
我們看到，命題2與上節(jié)的命題1的題設(shè)、結(jié)論正好相反。我們把像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。例如，如果把命題1當(dāng)成原命題，那么命題2是命題1的逆命題。上節(jié)已證明命題1正確，能證明命題2正確嗎？
在圖17.2-2（1）中，已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a2+b2=c2，要證△ABC一定是直角三角形。我們可以先畫一個(gè)兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b的直角三角形，如果△ABC與這個(gè)直角三角形全等，那么△ABC就是一個(gè)直角三角形。
如圖17.2-2（2），畫一個(gè)Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。根據(jù)勾股定理，A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2=c2，得A'B'=c。在△ABC和△A'B'C'中，BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'，所以△ABC≌△A'B'C'。因此∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形。
這樣我們證明了勾股定理的逆命題是正確的，它也是一個(gè)定理。我們把這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理。它是判定直角三角形的一個(gè)依據(jù)。
一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立。如本章中的命題1成立，它的逆命題命題2也成立；命題“對(duì)頂角相等”成立，而它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”卻不成立。
基本要求：
（1）有合適的板書；
（2）引導(dǎo)學(xué)生猜想、證明勾股定理的逆定理；
（3）教學(xué)中注意條理清晰，重點(diǎn)突出；
（4）請(qǐng)?jiān)?0分鐘內(nèi)完成試講內(nèi)容。
答辯題目：
1.談一談勾股定理在初中教材中的地位。
2.教學(xué)過程中你主要設(shè)置了哪些問題？目的是什么？
試講答案：
各位考官：大家好，我是初中數(shù)學(xué)組的XX號(hào)考生，今天我試講的題目是《勾股定理的逆定理》，下面開始我的試講。
一、復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新課
師：上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下勾股定理的內(nèi)容是什么？
師：對(duì)，勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則三邊長(zhǎng)滿足a2+b2=c2。請(qǐng)同學(xué)們思考一下，勾股定理的題設(shè)、結(jié)論分別是什么？
師：大家說得很好，題設(shè)是直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊為c，結(jié)論為三邊長(zhǎng)滿足a2+b2=c2。如果把勾股定理的題設(shè)、結(jié)論交換一下位置，命題還成立嗎？即如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？本節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)《勾股定理的逆定理》。
二、結(jié)合實(shí)例，講解新知
師：據(jù)說古埃及人畫直角的方法是把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)間距、4個(gè)結(jié)間距、5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。用這樣的繩結(jié)組成的三角形是直角三角形嗎？請(qǐng)同學(xué)們畫畫看，并用量角器檢驗(yàn)一下。
師：大家測(cè)量出來有一個(gè)角是直角，也就是說，如果圍成的三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，那么圍成的三角形是直角三角形，這里的3，4，5有什么關(guān)系呢？
師：有同學(xué)發(fā)現(xiàn)了，32+42=52。那再畫畫看，如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為2.52cm、62cm、6.52cm，并有2.52+62=6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊長(zhǎng)分別為6cm、8cm、10cm呢？同學(xué)們?cè)谛〗M內(nèi)動(dòng)手畫一畫并測(cè)量一下是否構(gòu)成直角。
師：大家根據(jù)以上的發(fā)現(xiàn)能得出什么猜想？
師：很好，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)如果圍成的三角形的三邊長(zhǎng)滿足a2+b2=c2的關(guān)系，那么這三邊圍成的三角形恰好是直角三角形。我們進(jìn)而會(huì)想：是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個(gè)直角三角形呢？我們得出一個(gè)猜想的命題：
命題2：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
師：猜想的命題2正確嗎？你能證明它嗎？也就是說，已知△ABC三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，求證△ABC是直角三角形。
師：要證明△ABC是直角三角形，我們需要知道∠C是直角，那么如何證明∠C是直角呢？
師：我們一起來試試再作一個(gè)Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，且A'C'=AC，B'C'=BC，則滿足A'C'2+B'C'2=A'B'2（勾股定理），你們能利用全等三角形的知識(shí)驗(yàn)證我們要證明的命題嗎？大家在小組內(nèi)探討一下。
師：第1小組已經(jīng)探討出來了，你們先說一下你們的證明思路吧！
師：第1小組是這樣證明的：∵AC2+BC2=AB2（已知），A'C'=AC，B'C'=BC（已作），∴AB2=A'B'2，∴AB=A'B'∴△ABC≌△A'B'C'，∴∠C=∠C'=90°，∴△ABC是直角三角形。
師：通過剛才的證明，我們可以得出前面的猜想是正確的，我們把它稱為勾股定理的逆定理。即要判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，只需要知道三邊能否滿足“兩邊的平方和等于第三邊的平方”，即“較小的兩邊的平方和等于較長(zhǎng)邊的平方”，如果滿足，則為直角三角形。
師：我們得出的命題2與之前學(xué)過的命題1有什么聯(lián)系呢？
師：學(xué)生1說這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反。在數(shù)學(xué)上，像這樣的兩個(gè)命題我們叫做互逆命題。你們能舉出互逆命題的例子嗎？
師：很好，大家想一想你所舉的例子中，如果原命題成立，逆命題一定成立嗎？
師：我們不難發(fā)現(xiàn)原命題與逆命題是否成立是相互獨(dú)立的。
三、練習(xí)鞏固
師：我們來看一看例題：判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15。
師：勾股定理的逆定理在已知三角形的三邊長(zhǎng)時(shí)，可以用來判斷該三角形是否為直角三角形。下面請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位合作交流，完成例題。
師：哪位同學(xué)來展示一下你們組的答案？
師：很好，那我們一起來驗(yàn)證學(xué)生2所在小組的答案。題目（1）中152+82=225+64=289=172，所以這個(gè)三角形是直角三角形。題目（2）中132+142=169+196=365≠152，所以這個(gè)三角形不是直角三角形。
四、課堂小結(jié)
師：誰能來總結(jié)一下，已知三角形的三邊長(zhǎng)，如何判斷這個(gè)三角形是否為直角三角形？
師：總結(jié)得很好，只需要看三角形的三邊是否滿足“兩邊的平方和等于第三邊的平方”，如果是，則是直角三角形，反之不是。
五、板書設(shè)計(jì)
勾股定理的逆定理
命題2：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（勾股定理的逆定理）
互逆命題 原命題 逆命題
例題：判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形。
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15。
解：（1）152+82=225+64=289=172，∴這個(gè)三角形是直角三角形。
（2）132+142=169+196=365≠152，∴這個(gè)三角形不是直角三角形。
我的試講到此結(jié)束，謝謝各位考官的聆聽。
答辯答案：
1.勾股定理是初中幾何中幾個(gè)重要定理之一。它揭示了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。勾股定理是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)之上的，同時(shí)也是初三幾何中解直角三角形及圓中有關(guān)計(jì)算的必備知識(shí)。更重要的是，縱觀整個(gè)初中數(shù)學(xué)，勾股定理架起了代數(shù)與幾何之間的橋梁。勾股定理在數(shù)學(xué)理論體系中的地位舉足輕重，就學(xué)生而言，對(duì)勾股定理學(xué)習(xí)的好壞將直接影響到他們后續(xù)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。
2.第一個(gè)問題：引入古埃及人畫直角的方法：把一根長(zhǎng)繩打上13個(gè)繩結(jié)，以3，4，5個(gè)結(jié)間距為邊長(zhǎng)組成的三角形中就有一個(gè)角是直角。讓學(xué)生測(cè)量用這樣的繩結(jié)組成的三角形是否是直角三角形。
設(shè)計(jì)意圖：通過古代數(shù)學(xué)問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而為得出勾股定理的逆定理做鋪墊。
第二個(gè)問題：讓學(xué)生動(dòng)手操作，導(dǎo)入問題，讓學(xué)生判斷三邊長(zhǎng)分別為2.5cm，6cm，6.5cm或4cm、7.5cm、8.5cm時(shí)是否滿足a2+b2=c2，能否組成直角三角形，根據(jù)以上結(jié)論得出猜想。
設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手探究，提升綜合實(shí)踐能力，進(jìn)一步根據(jù)事實(shí)作出猜想，提升合情推理能力。
第三個(gè)問題：讓學(xué)生證明所猜想的命題是否正確。
設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行證明，養(yǎng)成良好的反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣，進(jìn)一步提升演繹推理能力。
第四個(gè)問題：讓學(xué)生來總結(jié)，已知三角形的三邊長(zhǎng)，如何判斷這個(gè)三角形是否為直角三角形。
設(shè)計(jì)意圖：課堂最后通過總結(jié)回顧，幫助學(xué)生梳理要點(diǎn)，回顧解答過程，讓理解更深刻，學(xué)習(xí)更有效。
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