《終邊相同的角》

內(nèi)容：

探究

將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中后，給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應(yīng)。反之，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線[OB]（如圖1.1-5），以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？

不難發(fā)現(xiàn)，在圖1.1-5中，如果-32°的終邊是[OB]，那么328°，-392°…角的終邊都是OB，并且與-32°角終邊相同的這些角都可以表示成-32°的角與[k]個（[k∈Z]）周角的和，如：

[328°=-32°+360°]（這里[k=]    ）

[-392°=-32°-360°]（這里[k=]    ）設(shè)[S=β｜β=-32°+k·360°，k∈Z]，則328°，-392°角都是[S]的元素，-32°角也是[S]的元素（此時[k=]         ）。因此，所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，都是集合[S]的元素；反過來，集合[S]的任一元素顯然與-32°角終邊相同。

一般地，我們有：

所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合

[S=β｜β=α+k·360°，k∈Z]，

即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。

例1 在0°~360°范圍內(nèi)，找出與-950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角。

基本要求：

（1）要有板書；

（2）條理清晰，重點突出；

（3）教學(xué)過程注意啟發(fā)引導(dǎo)。

答辯題目：

1.簡述本節(jié)內(nèi)容在教材中的作用與地位。

2.在本節(jié)課的教學(xué)過程中，你是如何突破難點的？

試講答案：

各位考官：大家好，我是高中數(shù)學(xué)組的XX號考生，我試講的題目是《終邊相同的角》，下面開始我的試講。

一、導(dǎo)入新課

師：在直角坐標(biāo)系中，以原點為定點，x軸正半軸為始邊，畫出210°，-45°以及-150°這三個角，它們的終邊有什么特點？

師：學(xué)生1說210°與-150°這兩個角的終邊相同。

師：在練習(xí)本上畫一條射線OA，把筆端與射線端點重合，將筆先轉(zhuǎn)動到平面的一個位置OB，然后再按照順時針方向或逆時針方向旋轉(zhuǎn)筆，觀察筆重復(fù)轉(zhuǎn)到OB的位置時所形成角的特征。

師：學(xué)生2說這兩個角的終邊都在OB上。

師：給定一個角，就有唯一一條終邊與之對應(yīng)，反之，對于直角坐標(biāo)系中的任意一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？

師：學(xué)生3說不唯一，因為這樣的角有很多個。

師：對，這些都是終邊相同的角。今天我們就來學(xué)習(xí)終邊相同的角。

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二、生成新知

師：在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210°，-150°，328°，-32°，-392°表示的角，觀察它們的終邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：210°和-150°的終邊相同，328°，-32°，-392°的終邊相同。

師：-32°是射線繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)到-32°角終邊的位置，-392°，328°分別是-32°繼續(xù)按順時針或逆時針方向再旋轉(zhuǎn)一周所形成的角。顯然，這三個角的終邊相同，它們叫做終邊相同的角。

師：這兩組終邊相同的角之間有什么數(shù)量關(guān)系？終邊相同的角又有什么關(guān)系？

師：學(xué)生4說210°-（-150°）=360°，328°-（-32°）=360°，-32°-（-392°）=360°。學(xué)生5說由這兩組角可以看出終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍。

師：那么對于這些角，我們?nèi)绾斡脤W(xué)過的數(shù)學(xué)語言將它們表示出來？

師：學(xué)生6說可以用描述法、用集合表示。

師：用集合的方式更方便也更加容易理解。設(shè)S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z}，則328°，-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素（此時k=0）。因此，所有與-32°角的終邊相同的角，連同-32°在內(nèi)，都是集合S的元素；反過來，集合S的任何一個元素顯然與-32°角終邊相同。所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個集合S={β|β=k·360°+α，k∈Z}。即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成α與整數(shù)個周角的和。

三、應(yīng)用新知

師：在0°～360°范圍內(nèi)，找出與-950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角。

師：學(xué)生7說是129°48′，在第二象限。

師：寫出終邊在y軸上的角的集合及終邊在x軸上的角的集合。

師：同學(xué)們都寫得很好。

四、小結(jié)作業(yè)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？你對今天的學(xué)習(xí)還有什么疑問嗎？預(yù)習(xí)下節(jié)課。

師：好，下課，同學(xué)們再見！

五、板書設(shè)計

終邊相同的角

所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個集合S={β|β=k·360°+α，k∈Z}。

表示方法：集合

特點：k∈Z；α是任意角；終邊相同的角不一定相等，有無數(shù)多個，它們之間相差360°的整數(shù)倍。

我的試講到此結(jié)束，謝謝各位考官的聆聽！

答辯答案：

1.本課是數(shù)學(xué)必修四三角函數(shù)中第一節(jié)的內(nèi)容。三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。角的概念的推廣正是這一思想的體現(xiàn)之一，是初中相關(guān)知識的自然延續(xù)。為進(jìn)一步研究角的和、差、倍、半關(guān)系提供了條件，也為今后學(xué)習(xí)解析幾何、復(fù)數(shù)等相關(guān)知識提供了有利的工具，所以學(xué)生正確的理解和掌握角的概念的推廣尤為重要。

2.學(xué)生的活動過程決定著課堂教學(xué)的成敗，教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘“探究”欄目及“探究”示圖的過程功能，在這個過程上要不惜多花些時間，讓學(xué)生進(jìn)行操作與思考，自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的含義。如能借助信息技術(shù)，則可以動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程，更有利于學(xué)生觀察角的變化與終邊位置的關(guān)系，讓學(xué)生在動態(tài)的過程中體會既要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向，才能準(zhǔn)確刻畫角的形成過程，更好地了解任意角的深刻涵義。

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