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《勾股定理的逆定理》

內容：

命題2 如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。

我們看到，命題2與上節(jié)的命題1的題設、結論正好相反。我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。例如，如果把命題1當成原命題，那么命題2是命題1的逆命題。上節(jié)已證明命題1正確，能證明命題2正確嗎？

在圖17.2-2（1）中，已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足a2+b2=c2，要證△ABC一定是直角三角形。我們可以先畫一個兩條直角邊長分別為a，b的直角三角形，如果△ABC與這個直角三角形全等，那么△ABC就是一個直角三角形。

如圖17.2-2（2），畫一個Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。根據(jù)勾股定理，A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2=c2，得A'B'=c。在△ABC和△A'B'C'中，BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'，所以△ABC≌△A'B'C'。因此∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形。

這樣我們證明了勾股定理的逆命題是正確的，它也是一個定理。我們把這個定理叫做勾股定理的逆定理。它是判定直角三角形的一個依據(jù)。

一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立。如本章中的命題1成立，它的逆命題命題2也成立；命題“對頂角相等”成立，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”卻不成立。

基本要求：

（1）有合適的板書；

（2）引導學生猜想、證明勾股定理的逆定理；

（3）教學中注意條理清晰，重點突出；

（4）請在10分鐘內完成試講內容。

答辯題目：

1.談一談勾股定理在初中教材中的地位。

2.教學過程中你主要設置了哪些問題？目的是什么？

試講答案：

各位考官：大家好，我是初中數(shù)學組的XX號考生，今天我試講的題目是《勾股定理的逆定理》，下面開始我的試講。

一、復習舊知，導入新課

師：上一節(jié)課我們學習了勾股定理，請同學們回憶一下勾股定理的內容是什么？

師：對，勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，若直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，則三邊長滿足a2+b2=c2。請同學們思考一下，勾股定理的題設、結論分別是什么？

師：大家說得很好，題設是直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊為c，結論為三邊長滿足a2+b2=c2。如果把勾股定理的題設、結論交換一下位置，命題還成立嗎？即如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形嗎？本節(jié)課我們就一起來學習《勾股定理的逆定理》。

二、結合實例，講解新知

師：據(jù)說古埃及人畫直角的方法是把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。用這樣的繩結組成的三角形是直角三角形嗎？請同學們畫畫看，并用量角器檢驗一下。

師：大家測量出來有一個角是直角，也就是說，如果圍成的三角形的三邊長分別為3，4，5，那么圍成的三角形是直角三角形，這里的3，4，5有什么關系呢？

師：有同學發(fā)現(xiàn)了，32+42=52。那再畫畫看，如果三角形的三邊長分別為2.52cm、62cm、6.52cm，并有2.52+62=6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊長分別為6cm、8cm、10cm呢？同學們在小組內動手畫一畫并測量一下是否構成直角。

師：大家根據(jù)以上的發(fā)現(xiàn)能得出什么猜想？

師：很好，同學們發(fā)現(xiàn)如果圍成的三角形的三邊長滿足a2+b2=c2的關系，那么這三邊圍成的三角形恰好是直角三角形。我們進而會想：是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個直角三角形呢？我們得出一個猜想的命題：

命題2：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。

師：猜想的命題2正確嗎？你能證明它嗎？也就是說，已知△ABC三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，求證△ABC是直角三角形。

師：要證明△ABC是直角三角形，我們需要知道∠C是直角，那么如何證明∠C是直角呢？

師：我們一起來試試再作一個Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，且A'C'=AC，B'C'=BC，則滿足A'C'2+B'C'2=A'B'2（勾股定理），你們能利用全等三角形的知識驗證我們要證明的命題嗎？大家在小組內探討一下。

師：第1小組已經(jīng)探討出來了，你們先說一下你們的證明思路吧！

師：第1小組是這樣證明的：∵AC2+BC2=AB2（已知），A'C'=AC，B'C'=BC（已作），∴AB2=A'B'2，∴AB=A'B'∴△ABC≌△A'B'C'，∴∠C=∠C'=90°，∴△ABC是直角三角形。

師：通過剛才的證明，我們可以得出前面的猜想是正確的，我們把它稱為勾股定理的逆定理。即要判斷一個三角形是否為直角三角形，只需要知道三邊能否滿足“兩邊的平方和等于第三邊的平方”，即“較小的兩邊的平方和等于較長邊的平方”，如果滿足，則為直角三角形。

師：我們得出的命題2與之前學過的命題1有什么聯(lián)系呢？

師：學生1說這兩個命題的題設和結論正好相反。在數(shù)學上，像這樣的兩個命題我們叫做互逆命題。你們能舉出互逆命題的例子嗎？

師：很好，大家想一想你所舉的例子中，如果原命題成立，逆命題一定成立嗎？

師：我們不難發(fā)現(xiàn)原命題與逆命題是否成立是相互獨立的。

三、練習鞏固

師：我們來看一看例題：判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15。

師：勾股定理的逆定理在已知三角形的三邊長時，可以用來判斷該三角形是否為直角三角形。下面請同學們以小組為單位合作交流，完成例題。

師：哪位同學來展示一下你們組的答案？

師：很好，那我們一起來驗證學生2所在小組的答案。題目（1）中152+82=225+64=289=172，所以這個三角形是直角三角形。題目（2）中132+142=169+196=365≠152，所以這個三角形不是直角三角形。

四、課堂小結

師：誰能來總結一下，已知三角形的三邊長，如何判斷這個三角形是否為直角三角形？

師：總結得很好，只需要看三角形的三邊是否滿足“兩邊的平方和等于第三邊的平方”，如果是，則是直角三角形，反之不是。

五、板書設計

勾股定理的逆定理

命題2：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。（勾股定理的逆定理）

互逆命題  原命題  逆命題

例題：判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形。

（1）a=15，b=8，c=17；

（2）a=13，b=14，c=15。

解：（1）152+82=225+64=289=172，∴這個三角形是直角三角形。

（2）132+142=169+196=365≠152，∴這個三角形不是直角三角形。

我的試講到此結束，謝謝各位考官的聆聽。

答辯答案：

1.勾股定理是初中幾何中幾個重要定理之一。它揭示了直角三角形三邊的某種數(shù)量關系。勾股定理是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有關知識的基礎之上的，同時也是初三幾何中解直角三角形及圓中有關計算的必備知識。更重要的是，縱觀整個初中數(shù)學，勾股定理架起了代數(shù)與幾何之間的橋梁。勾股定理在數(shù)學理論體系中的地位舉足輕重，就學生而言，對勾股定理學習的好壞將直接影響到他們后續(xù)數(shù)學的學習。

2.第一個問題：引入古埃及人畫直角的方法：把一根長繩打上13個繩結，以3，4，5個結間距為邊長組成的三角形中就有一個角是直角。讓學生測量用這樣的繩結組成的三角形是否是直角三角形。

設計意圖：通過古代數(shù)學問題激發(fā)學生的學習興趣，從而為得出勾股定理的逆定理做鋪墊。

第二個問題：讓學生動手操作，導入問題，讓學生判斷三邊長分別為2.5cm，6cm，6.5cm或4cm、7.5cm、8.5cm時是否滿足a2+b2=c2，能否組成直角三角形，根據(jù)以上結論得出猜想。

設計意圖：鼓勵學生動手探究，提升綜合實踐能力，進一步根據(jù)事實作出猜想，提升合情推理能力。

第三個問題：讓學生證明所猜想的命題是否正確。

設計意圖：鼓勵學生對猜想進行證明，養(yǎng)成良好的反思質疑的學習習慣，進一步提升演繹推理能力。

第四個問題：讓學生來總結，已知三角形的三邊長，如何判斷這個三角形是否為直角三角形。

設計意圖：課堂最后通過總結回顧，幫助學生梳理要點，回顧解答過程，讓理解更深刻，學習更有效。

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